contoh soal induksi matematika dan penyelesaian

Contoh 1 :

Tunjukkan bahwa untuk n ≥ 1,1 + 2+3+.......+n =n (n + 1)/2 melalui induksi matematika.

Penyelesaian.

     Andaikan bahwa p(n) menyatakan proposisi bahwa untuk  n ≥ 1,jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n ( n + 1)/2, yaitu 1 +  2+3+.......+n = (n + 1)/2.Kita harus membuktikan kebenaran proposisi ini dengan dua langkah induksi.

Pertama: Basis  induksi; p (1) benar,karena untuk n = 1 kita proleh

                   1 =  (1 +1) / 2

                      = 1 (2) / 2

                      = 2/ 2

                      = 1

Kedua : Langkah induksi; Misalkan p (n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

                  1 + 2+3+.......+n = (n + 1)/2

               Adalah benar (hipotesisi induksi ). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar,yaitu

                          1 + 2+3+.......+n + (n + 1) = (n + 1)[(n + 1) + 1]/ 2

          Untuk membuktikan ini, tunjukkan bahwa

            1 + 2+3+.......+n + (n + 1)       = 1 + 2+3+.......+n )+ (n + 1)

                                                            =[n (n + 1) /2] +(n+1)                   

                                                            =[(n² + n)/ 2]+ (n+1)

                                                            =[(n² + n)/ 2]+[(2n + 2)/2]

                                                            =(n²+3 n + 2 )/ 2         

                                                            =(n + 1)(n+ 2)/ 2

                                                            =( n+ 1 )[(n + 1) + 1]/2                       

                       

Karena langkah pertama dan kedua telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n,

terbukti bahwa semua  n ≥1,1 + 2+3+.......+n =n (n + 1)/2

Contoh 2 :

Buktikan bahwa :

1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n2

untuk setiap n bilangan bulat positif

Penyelesaian

q  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 12 -> 1 = 1

q  Induksi : misalkan untuk n = k   asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2

q  adib. Untuk n = k + 1 berlaku

1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

k 2 + (2K + 1)       = (k + 1)2

k 2 + 2K + 1           = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n2

Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 :

Buktikan bahwa :

N 3 + 2n adalah kelipatan 3

untuk setiap n bilangan bulat positif

Penyelesaian

q  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 13 + 2(1) -> 1 = 3 , kelipatan 3

q  Induksi : misalkan untuk n = k  asumsikan k 3 + 2k  = 3x

q  adib. Untuk n = k + 1 berlaku

(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2

(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)

(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)

Induksi

3x + 3 (k 2 + k + 1)

3 (x + k 2 + k + 1)

Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3

Untuk setiap bilangan bulat positif n

Share this post